Salut! En tant que fournisseur de commutateurs, j'ai beaucoup réfléchi à la façon dont ces petits composants peuvent être utilisés dans différents domaines d'étude. Une question vraiment intéressante qui se pose est: le commutateur peut-il être utilisé pour étudier la solvabilité d'un groupe?
Commençons par comprendre ce qu'est un commutateur. Dans le monde de la théorie du groupe, si vous avez un groupe (g) et deux éléments (a) et (b) dans ce groupe, le commutateur de (a) et (b), écrit comme ([a, b]), est défini comme (a ^ {- 1} b ^ {- 1} AB). Cela peut sembler être une petite formule simple, mais il contient un punch en termes de ce qu'il peut nous dire sur le groupe.
Maintenant, qu'est-ce que cela signifie pour un groupe d'être résoluble? A group (G) is solvable if there's a sequence of subgroups (G = G_0 \geq G_1\geq\cdots\geq G_n={e}), where (e) is the identity element of the group, and each (G_{i + 1}) is a normal subgroup of (G_i) and the quotient group (G_i/G_{i+1}) is abelian. En termes plus simples, nous pouvons décomposer le groupe en pièces plus petites, plus bien comportées (abéliennes).
Alors, comment les commutateurs s'intègrent-ils dans cette image? Eh bien, le sous-groupe du commutateur, souvent désigné (g ') ou ([g, g]), est le sous-groupe généré par tous les commutateurs du groupe (g). C'est-à-dire (g '= \ langle [a, b]: a, b \ in g \ hangle).
Le sous-groupe du commutateur est super important lorsqu'il s'agit d'étudier la solvabilité. L'une des propriétés clés est qu'un groupe (g) est abelian si et seulement si son sous-groupe de commutateur (g '= {e}). En effet, si (g) est abélien, alors pour tout (a, b \ in g), (ab = ba). SO, ([a, b] = a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab = a ^ {- 1} ab ^ {- 1} b = e). Inversement, if (g '= {e}), alors pour tous (a, b \ in g), ([a, b] = e), ce qui signifie (a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab = e). Multipliez les deux côtés à gauche par (ab), et vous obtenez (ab = ba), donc (g) est abélien.
Maintenant, réfléchissons à la relation entre le sous-groupe du commutateur et la solvabilité. Nous pouvons former une séquence de sous-groupes de commutateurs. Commencez par (g_0 = g), alors (g_1 = [g_0, g_0] = g '), (g_2 = [g_1, g_1]), et en général, (g_ {i + 1} = [g_i, g_i]). Cette séquence est appelée série dérivée du groupe (G).
Un groupe (g) est résoluble si et seulement si la série dérivée finit par atteindre le groupe trivial ({e}). Autrement dit, il existe un entier non négatif (n) tel que (g_n = {e}). Pour voir pourquoi c'est le cas, supposons d'abord que (g) est résoluble avec une série résoluble (g = h_0 \ geq h_1 \ geq \ cdots \ geq h_n = {e}) où (h_ {i} / h_ {i + 1}) est abélien. Nous pouvons montrer par induction que (g_i \ leq h_i) pour tous (i). Pour (i = 0), (g_0 = g = h_0). Supposons (g_i \ leq h_i). Puisque (h_ {i} / h_ {i + 1}) est abelian, ([h_i, h_i] \ leq h_ {i + 1}). Et depuis (g_ {i + 1} = [g_i, g_i]) et (g_i \ leq h_i), nous avons (g_ {i + 1} \ leq [h_i, h_i] \ leq h_ {i + 1}). Finalement, quand (h_n = {e}, g_n = {e}).
Inversement, si la série dérivée (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), alors chaque (g_i / g_ {i + 1}) est abélien parce que (g_ {i + 1} = [g_i, g_i]), et le sous-groupe du commutateur (g_i / g_ {i + 1}) Prouvez cela en utilisant les propriétés des groupes et des commutateurs de quotient). Ainsi, la série dérivée elle-même est une série résoluble pour (g).
En termes pratiques, lorsque nous examinons un groupe, nous pouvons calculer l'étape des sous-groupes de commutateurs - par - étape. Nous commençons par trouver tous les commutateurs du groupe pour former le premier sous-groupe de commutateurs (G '). Ensuite, nous faisons la même chose pour (g ') pour obtenir (g' '), et ainsi de suite. Si à un moment donné, nous nous retrouvons avec l'élément d'identité, nous savons que le groupe est résoluble.
En tant que fournisseur de commutateurs, je trouve ce lien entre les commutateurs et la solvabilité du groupe fascinant. Cela montre que ces petits composants, qui sont principalement pensés dans le contexte du génie électrique et des systèmes mécaniques où je les fournissent, ont cette application mathématique profonde.
Si vous êtes dans l'algèbre abstraite et que vous faites des recherches sur la théorie des groupes, le concept de commutateurs et leur utilisation dans l'étude de la solvabilité peuvent ouvrir un tout nouveau domaine d'exploration. Vous pouvez utiliser des outils de calcul pour calculer les sous-groupes de commutateurs pour les groupes grands et complexes. Il existe également de nombreux résultats théoriques qui peuvent vous aider à analyser la structure des groupes en fonction de leurs sous-groupes de commutateurs.
Ce qui est vraiment cool, c'est que l'étude de la solvabilité du groupe a également des applications réelles. Par exemple, dans la théorie des galois, la solvabilité du groupe Galois d'une équation polynomiale est liée à la question de savoir si l'équation peut être résolue par des radicaux. Ainsi, en utilisant des commutateurs pour étudier la solvabilité du groupe Galois, nous pouvons mieux comprendre les équations polynomiales.
Maintenant, si vous êtes sur le marché pour des commutateurs de haute qualité pour vos projets électriques ou mécaniques, vous êtes au bon endroit. Nous offrons un large éventail de commutateurs àCommutateurs. Que vous ayez besoin de commutateurs à petite échelle pour les instruments de précision ou à grande échelle pour les applications industrielles, nous vous avons couvert.
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Références
- Dummit, DS et Foote, RM (2004). Algèbre abstraite. Wiley.
- Long, S. (2002). Algèbre. Springer.