Le calcul du commutateur de deux éléments dans un produit direct des groupes est un concept fondamental dans la théorie des groupes avec des applications larges dans divers domaines, notamment la physique, l'ingénierie et l'informatique. En tant que fournisseur de commutateurs, je suis bien versé dans les aspects théoriques des commutateurs et leur signification pratique. Dans ce blog, je vous guiderai tout au long du processus de calcul du commutateur de deux éléments dans un produit direct de groupes.
Comprendre les bases
Avant de plonger dans le calcul, clarifions d'abord certains concepts clés. Un groupe (g) est un ensemble équipé d'une opération binaire (\ CDOT) qui satisfait quatre axiomes: fermeture, association, existence d'un élément d'identité et existence d'inverses pour chaque élément. Le produit direct de deux groupes (G_1) et (G_2), désigné (g_1 \ Times G_2), est un nouveau groupe dont les éléments sont des paires commandées ((g_1, g_2)) où (g_1 \ in g_1) et (g_2 \ in g_2). L'opération de groupe dans (G_1 \ Times G_2) est défini composant - sage: ((g_1, g_2) \ cdot (h_1, h_2) = (g_1 \ cdot h_1, g_2 \ cdot h_2)) pour tous ((g_1, g_2), (h_1, h_2) \ in g_1 \ Times g_2).
Le commutateur de deux éléments (a) et (b) dans un groupe (g) est défini comme ([a, b] = a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab). Le commutateur mesure jusqu'où le groupe est d'abélien (commutatif). Si ([a, b] = e) (l'élément d'identité du groupe) pour tous (a, b \ in g), alors le groupe (g) est abélien.
Calcul du commutateur dans un produit direct de groupes
Soit (g = g_1 \ fois g_2) le produit direct de deux groupes (g_1) et (g_2), et let (x = (x_1, x_2)) et (y = (y_1, y_2)) deux éléments de (g), où (x_1, y_1 \ in g_1) et (x_2, y_2 \ in g_2).
Tout d'abord, nous devons trouver les inverses de (x) et (y). L'inverse de (x = (x_1, x_2)) dans (g = g_1 \ Times g_2) est (x ^ {- 1} = (x_1 ^ {- 1}, x_2 ^ {- 1})) depuis ((x_1, x_2) \ cdot (x_1 ^ {- 1}, x_2 ^ {- 1}) = (x_1 \ \ CDOT x_1 ^ {- 1}, x_2 \ cdot x_2 ^ {- 1}) = (e_1, e_2)), où (e_1) et (e_2) sont respectivement les éléments d'identité de (g_1) et (g_2) respectivement. De même, (y ^ {- 1} = (y_1 ^ {- 1}, y_2 ^ {- 1})).
Maintenant, nous pouvons calculer le commutateur ([x, y]):
[
\ begin {aligner *}
[x, y] & = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy \
& = (x_1 ^ {- 1}, x_2 ^ {- 1}) \ cdot (y_1 ^ {- 1}, y_2 ^ {- 1}) \ cdot (x_1, x_2) \ cdot (y_1, y_2) \
& = (x_1 ^ {- 1} y_1 ^ {- 1} x_1y_1, x_2 ^ {- 1} y_2 ^ {- 1} x_2y_2) \
& = ([x_1, y_1], [x_2, y_2])
\ end {align *}
]]
Ce résultat montre que le commutateur de deux éléments dans un produit direct de deux groupes peut être calculé en termes de composante - sage. C'est-à-dire que le commutateur de deux éléments dans (g_1 \ Times g_2) est une paire ordonnée dont le premier composant est le commutateur des premiers composants des éléments d'origine en (g_1), et le deuxième composant est le commutateur des seconds composants des éléments originaux dans (g_2).
Généralisation à un produit direct de plusieurs groupes
Le résultat ci-dessus peut être facilement généralisé au produit direct de (n) groupes (g = g_1 \ Times G_2 \ Times \ CDots \ Times G_N). Soit (x = (x_1, x_2, \ cdots, x_n)) et (y = (y_1, y_2, \ cdots, y_n)) deux éléments de (g), où (x_i, y_i \ dans g_i) pour (i = 1,2, \ cdots, n). Alors le commutateur ([x, y]) est donné par ([x, y] = ([x_1, y_1], [x_2, y_2], \ cdots, [x_n, y_n])).
Exemples
Exemple 1: produit direct de deux groupes cycliques
Selt (g_1 = \ mathbb {z} _3 = {0,1,2}) sous Addition Modulo 3 et (g_2 = \ mathbb {z} _4 = {0,1,2,3}) sous Addition Modulo 4. Considérer (x = (1,2)) et (y = (2,3)) dans (g = g_1 \ Times G_2).
Dans (\ mathbb {z} _3), (x_1 = 1), (y_1 = 2), (x_1 ^ {- 1} = 2) (depuis (1 + 2 \ equiv0 \ pmod {3})), (y_1 ^ {- 1} = 1) (depuis (2 + 1 \ equiv0 \ pmod {3})). Alors ([x_1, y_1] = x_1 ^ {- 1} + y_1 ^ {- 1} + x_1 + y_1 = 2 + 1 + 1 + 2 \ equiv2 \ pmod {3}).
Dans (\ mathbb {z} _4), (x_2 = 2), (y_2 = 3), (x_2 ^ {- 1} = 2) (depuis (2 + 2 \ equiv0 \ pmod {4})), (y_2 ^ {- 1} = 1) (depuis (3 + 1 \ equiv0 \ pmod {4})). Alors ([x_2, y_2] = x_2 ^ {- 1} + y_2 ^ {- 1} + x_2 + y_2 = 2 + 1 + 2 + 3 \ equiv2 \ pmod {4}).
Donc, ([x, y] = (2,2)) dans (g_1 \ Times g_2).
Exemple 2: produit direct d'un groupe symétrique et d'un groupe dièdre
Soit (g_1 = s_3) (le groupe symétrique de degré 3) et (g_2 = d_4) (le groupe dièdre de l'ordre 8). Supposons (x = ((12), r)) et (y = ((13), s)) où ((12)) et ((13)) sont des transpositions dans (s_3), (r) est une rotation dans (d_4), et (s) est une réflexion dans (d_4).
Dans (S_3), nous calculons ([(12), (13)] = (12) ^ {- 1} (13) ^ {- 1} (12) (13) = (12) (13) (12) (13) = (132)).
Dans (d_4), nous calculons ([r, s] = r ^ {- 1} s ^ {- 1}} rs). Si nous connaissons le tableau de groupe de (D_4), nous pouvons trouver l'élément spécifique. Alors ([x, y] = ((132), [r, s])) dans (g_1 \ Times g_2).
Applications et le rôle des commutateurs sur le marché
Les commutateurs ont de nombreuses applications en génie électrique, en particulier dans les moteurs DC et les générateurs. Dans un moteur à courant continu, le commutateur est un redresseur mécanique qui convertit le courant alternatif induit dans les enroulements d'armature en courant direct. Cela garantit que le couple produit par le moteur est dans le même sens, permettant au moteur de tourner en continu.
En tant que fournisseur de commutateurs, nous comprenons l'importance des commutateurs de haute qualité dans ces applications. Nos commutateurs sont conçus pour répondre aux normes les plus strictes de l'industrie, garantissant des performances fiables et une durabilité à long terme. Vous pouvez trouver plus d'informations sur nos commutateurs sur notre site WebCommutateurs.
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Références
- Dummit, DS et Foote, RM (2004). Algèbre abstraite. John Wiley & Sons.
- Herstein, dans (1975). Sujets en algèbre. Wiley India.
- Long, S. (2002). Algèbre. Springer.